Иногда практикующий теоретик (anairos) wrote,
Иногда практикующий теоретик
anairos

Category:

Джордж Спенсер Браун: многоликая случайность

Продолжаю вольный пересказ книги математика Джорджа Спенсера Брауна «Probability and scientific inference». На сей раз речь пойдет об основной теме книги: случайности и теории вероятностей.

Квантовая физика ввела в науку понятие случайности (или спонтанности), как нематериального начала, которое приводит вселенную в движение и создает события. Однако теория вероятностей и математическая статистика зародились существенно раньше, и когда они говорят о случайности, то имеют в виду нечто совершенно иное. И даже не одно.


Предположим, у меня есть знакомый по имени Х, который время от времени заходит ко мне в гости. В этот раз он зашел снова, и так получилось, что как раз в это время у меня гостил другой мой знакомый, с которым Х очень хотел увидеться. Произошло ли это случайно, или же Х намеренно выбрал время визита, поскольку знал, что застанет здесь именно того, кто был ему нужен?

Если у меня нет возможности спросить об этом напрямую, я могу только гадать. Например, исходя из частоты обычных визитов Х: если он бывает у меня достаточно часто, то вероятность случайного совпадения будет выше.

Ученый в таких ситуациях назначает событию критерий значимости – шанс на то, что это событие произошло волей случая. Если критерий ниже порога, то событие, скорее всего, не случайно.

Правда, чтобы назначить величину этого критерия, нужно вначале провести серию испытаний. Любое значение, определенное заранее, почти наверняка окажется неправильным. А значит, действия нашего ученого в значительной степени определяются его собственной верой в то, случайно наше событие или нет.

Причем вот что важно: когда я называю визиты Х случайными, то отлично понимаю, что для него они вполне преднамеренны и, возможно, запланированы заранее. Но они не имеют никакой связи с делами и причинами, которые интересны для меня.

Иными словами, случайность в теории вероятностей – по сути, синоним независимости. Событие случайно, если не связано с теми, которые я отслеживаю. А значит, все, что случайно для меня, обязательно будет неслучайным для кого-то другого.

Примечание: именно это убеждение и вызвало шок от открытий квантовой физики, которые показали, что событие может быть по-настоящему, фундаментально беспричинным.


Генераторы случайных чисел используются повсюду – от научных исследований до игр. Но чтобы их можно было использовать, они вначале проходят проверку на случайность.

И тут оказывается, что у нас есть два различных определения случайной последовательности.

Первое – непредсказуемость. Если последовательность случайна, то, даже зная, какие числа выпадали в прошлые разы, я не должен быть в состоянии определить, какое число будет следующим. Я могу только угадывать.

При этом считается, что если последовательность полностью случайна, то не только отдельные числа, но и их сочетания – последовательные пары, тройки и т.д. – точно так же непредсказуемы.

Этот вариант неизбежно субъективен. Например, я не могу разобраться в выдаче неизвестного мне прибора, и мне остается только гадать. Для меня она случайна. Но для создателя прибора – нет. Он может в точности сказать, что его творение сообщит в следующий момент.

Второе определение относится уже не к отдельным числам или событиям, а ко всей последовательности в целом. Если она действительно случайна, в ней не должно быть перекосов в пользу каких-то отдельных вариантов.

И тут, как всегда, возникает огромное жирное «но», потому что эти два определения случайной последовательности несовместимы между собой, так что ни одна последовательность не может соответствовать обоим сразу.


Пусть у нас есть аппарат, который бросает монетку и выдает поток нулей и единиц в зависимости от того, орел выпал или решка. Каждый бросок независим от предыдущих, и потому невозможно предсказать, какая цифра будет следующей.

А теперь возьмем последовательность из десяти цифр. Таких последовательностей у нас может быть 2^10 = 1024. Они тоже независимы друг от друга, и потому невозможно сказать, какая будет следующей.

Наша машина работала довольно долго и выдала миллион цифр – сто тысяч отрезков по десять. Теория вероятностей показывает, что на этом длинном участке мы встретим каждую возможную последовательность около ста раз. То есть, например, примерно сто раз мы увидим по десять нолей подряд.

Продолжая рассуждения дальше, мы строго логически придем к выводу, что на достаточно длинном ряде случайных нулей и единиц мы непременно встретим – и не один раз – и более длинные ряды одинаковых цифр. Сто подряд. Двести. Тысячу.

И что скажет исследователь, когда его генератор случайных чисел выдаст подряд тысячу нулей? Если он достаточно терпелив, и в его опыте часто встречаются такие длинные последовательности, то он подождет и убедится, что дальше идет опять разнобой. Но любой реальный человек уже после ста-двухсот нулей скажет, что машина явно неисправна. У нее сильнейший перекос в сторону одного из двух вариантов.

Чтобы избежать такого казуса, большинство ГСЧ корректируют свою выдачу, чтобы она выглядела случайной в этом втором смысле. Но это значит, что каждая следующая цифра выдается с оглядкой на то, что уже выпало, и последовательность перестает быть случайной в первом смысле.

Лжец вынужден лгать, чтобы ему поверили. ГСЧ вынужден выдавать неслучайные последовательности, чтобы они казались случайными, а сам ГСЧ считался качественным.


Именно с этого момента мы можем считать, что наше представление о вероятности никуда не годится.

Мы считаем, что в истинно случайной последовательности нулей и единиц вероятность каждого варианта одинакова и равна 1/2. И действительно, поскольку выпасть может либо одно, либо другое, а что-то выпадет в любом случае, мы вправе приравнять вероятность к этому числу.

Классическая теория говорит, что на этом основании в любой достаточно длинной последовательности случайных нулей и единиц соотношение тех и других будет примерно равно единице. Но на деле оно большую часть времени будет каким угодно, только не таким. Более того, оно может отклоняться от единицы как угодно далеко – от нуля до бесконечности. И чем длиннее последовательность случайных чисел, тем сильнее и заметнее в ней перекосы. Это проверено на практике.

Примечание. Если у нас есть бесконечное поле, разбитое на клетки, и фишка, которая на каждом шаге случайным образом двигается влево, вправо, вверх или вниз, то, исходя из того, что вероятности движения туда и сюда одинаковы, можно подумать, что она должна балансировать где-то в окрестностях исходной точки. На деле доказано, что она за конечное число шагов доберется до любой клетки на поле, как бы далеко та ни находилась.

Мы можем предполагать, что в бесконечной последовательности оно будет стремиться к заветному пределу, но вот в чем загвоздка: математически доказано, что понятие предела не имеет смысла в случайной последовательности чисел. Соотношение частот разных элементов будет такой же случайной величиной, как и сами элементы, и потому у него нет предела на бесконечности.

Иными словами, понятие вероятности, хотя и приносит нам немало пользы в практическом смысле, так же не соответствует действительности, как теплород, или флогистон, или мгновенно действующая на любом расстоянии гравитация Ньютона. Это лишь приблизительный способ представить себе то, что происходит на самом деле.
Tags: научные парадоксы, перевод
Subscribe

  • Троп возрождённый

    Есть художественные приёмы, намертво привязанные к своей эпохе. Там они уместны и создают погружение, стоит выйти за пределы – и они начинают…

  • Сквозные слова

    Этот представительный мужчина – Папа Григорий I Великий, святой, почитаемый и католиками, и православными, и англиканами. Даже Кальвин…

  • Размышлизмы о словах

    Так уж получилось, что в последнее время я много думаю о значениях слов. На полноценную статью ни один из этих размышлизмов, пожалуй, не тянет, но…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 25 comments

  • Троп возрождённый

    Есть художественные приёмы, намертво привязанные к своей эпохе. Там они уместны и создают погружение, стоит выйти за пределы – и они начинают…

  • Сквозные слова

    Этот представительный мужчина – Папа Григорий I Великий, святой, почитаемый и католиками, и православными, и англиканами. Даже Кальвин…

  • Размышлизмы о словах

    Так уж получилось, что в последнее время я много думаю о значениях слов. На полноценную статью ни один из этих размышлизмов, пожалуй, не тянет, но…