Иногда практикующий теоретик (anairos) wrote,
Иногда практикующий теоретик
anairos

Category:

Непостижимая эффективность математики: Ричард Хэмминг

В 1959 году великий физик Юджин Вигнер произнес на весь мир выражение Unreasonable Effectiveness of Mathematics. Обычно его переводят как «непостижимая эффективность математики», но английское слово unreasonable значит совершенно иное – неразумный, опрометчивый, необдуманный. В данном контексте, возможно, следовало перевести как «абсурдный».

Вигнер говорил, что уму непостижимо, как математика – манипуляция абстрактными символами – может порождать модели, которые так хорошо описывают реальный мир.

Статья Вигнера была больше вопросом, чем ответом, и на него пробовали отвечать многие. Среди них был и Ричард Хэмминг.

Его имя знакомо каждому, кто разбирается в теории кодирования. Я далек от этой темы, но даже я слышал о расстоянии Хэмминга и основанных на нем кодах, способных автоматически исправлять ошибки передачи. В общем, перед нами – человек, съевший на прикладной математике даже не собаку, а целую упряжку.

Статья Хэмминга вышла в 1989 году. Всем, владеющим буржуинским наречием, я очень рекомендую найти ее и прочитать. А сейчас предлагаю вашему вниманию вольный перевод ее второй, завершающей части, где автор говорит о четырех вариантах ответа на вопрос Вигнера.

Необходимая отмазка: то, что я нахожу идеи Хэмминга интересными, не значит, что я непременно с ними соглашаюсь. Более того, он и сам предупреждает читателя, что его гипотезы, вероятнее всего, неверны, и уж точно примитивны. Но надо же с чего-то начинать.


Мы находим то, что ищем

Надев синие очки, вы будете все видеть в синем цвете. Используя математику, вы увидите только то, что поддается математическому описанию.

Пифагор доказал свою знаменитую теорему задолго до того, как Евклид сформулировал аксиомы геометрии. И это не единственный случай в математике: не теоремы выводятся из аксиом, а аксиомы подгоняются так, чтобы из них следовали доказанные теоремы.

Галилей прославился законом свободного падения: все тела падают с одинаковой скоростью, если на них не действуют никакие другие силы. Но этот закон не был выведен из эксперимента, реального или мысленного. Он получился путем простого логического рассуждения.

Пусть тело падает, и в падении распадается на две части. Если легкие тела падают медленнее тяжелых, то эти части должны тут же замедлиться. А что если после этого они случайно соприкоснулись – станут ли они «считаться» снова тяжелым телом, и начнут ли ускоряться?

Падающее тело не знает и не может знать, из скольких частей оно собрано. А значит, единственный способ избежать противоречия – сказать, что все тела падают с одной скоростью.

Закон Галилея был открыт за счет особенностей нашего мышления.


Ньютон вывел знаменитый закон обратных квадратов из законов Кеплера. Однако, если у нас есть принцип сохранения энергии и трехмерное евклидово пространство, то любое симметричное поле, исходящее из центральной точки, просто обязано будет подчиняться закону обратных квадратов*.

Все эксперименты по «проверке закона Ньютона» были, по сути, проверкой, является ли наше пространство евклидовым.

*Примечание переводчика. Когда я сам вник в суть обратных квадратов, для меня это тоже показалось несомненным фактом. Тем сильнее было мое удивление, когда я узнал, что в квантовой хромодинамике есть силы, которые этому закону НЕ подчиняются. Вот это, на мой взгляд, действительно иррационально и нелогично.


Даже знаменитый принцип неопределенности, предсказанный Гейзенбергом, не так уж удивителен. Если вы хотите, чтобы ваша математическая модель была непрерывной, линейной и симметричной относительно времени, вам придется использовать ряды и интегралы Фурье. А согласно одной интересной теореме, при этом однозначно возникает та самая неопределенность.


Или возьмем парадокс физических констант. Если мы возьмем любую случайную константу, то с вероятностью 60% она будет начинаться с цифры 1, 2 или 3. Все остальные цифры оказываются первыми только в 40% случаев.

Исследование парадокса показывает, что это не особенность мира, а следствие того, как мы сами используем числа и измерения. Иными словами, артефакт модели.


И таких артефактов великое множество. Математика дает ответы на вопросы, которые, как оказывается, сама же она и породила. Ее эффективность в значительной степени вызвана тем, что мы ее используем. Мы подходим к миру с интеллектуальным аппаратом, позволяющим видеть только то, что мы и видим.

Общераспространенное убеждение, будто наука строится в первую очередь на экспериментах – заблуждение. Эйнштейн так верил в математику, что даже не интересовался исходом эксперимента по проверке теории относительности. Когда его спросили, он ответил, что либо опыт подтвердит его теорию, либо его нужно отвергнуть как ошибочный.

Эддингтон утверждал, что достаточно развитый ум способен дедуктивно вывести всю физику без единого эксперимента. Мы не будем столь радикальны и выразимся мягче: в физике куда больше таких дедуктивных утверждений, чем кажется.


Мы определяем, какую математику использовать

Скаляры не годятся для расчета полей, и мы придумали векторы, а затем и тензоры.

В одной из книг самого Хэмминга для меток использованы нормальные целые числа, а вероятности представлены обычными действительными числами, но все расчеты (а их там немало) строятся на арифметике и алгебре, в которой 1+1=0.

Так что второй ответ будет таким: мы создаем математику, подходящую к ситуации. Универсальной Математики, которая была бы эффективна везде, попросту не существует.


Наука решает не так уж много проблем

Успехи науки огромны и очевидны, и это порождает иллюзию, будто она способна ответить на все наши вопросы. Но это не так.

Испокон веков людей волновало, например, что такое истина, красота и справедливость. Наука не смогла дать ответ на эти вопросы и не похоже, что когда-нибудь сможет. Пока мы используем математику, в которой целое есть сумма своих частей, эта математика не станет подходящим инструментом для исследования таких проблем.

Собственно, большая часть нашего жизненного опыта оказывается далеко за пределами математики, да и науки в целом. А теорема Гёделя показывает, что эти пределы существуют, и они непреодолимы. Уверенность ученых, что мир можно описать математическими моделями – не более чем акт веры.

Стоит подумать, на сколько вопросов наука НЕ отвечает, и станет понятно, что ее успехи не так уж и велики на самом деле.


Эволюция могла задать нам начальные условия

Вероятно, уже самые первые предки человека были способны к длинным цепочкам рассуждений – основе математики. Кое-кто утверждал, что естественный отбор вполне мог поддерживать в нас определенную схему мышления – наилучшую для выживания и размножения.

Опыты показывают, что мы неплохо справляемся, когда нужно рассуждать о вещах примерно нашего масштаба в пространстве и времени, но стоит выйти далеко за эти пределы, и наша мысль начинает давать сбои.

Мы знаем, что есть цвета, которые мы не в силах увидеть, и звуки, которых мы никогда не услышим. Можно предположить по той же логике, что есть и мысли, которые мы не в силах подумать. А значит, есть и вещи, которых мы не замечаем, потому что не в состоянии их представить. Наше устройство, сформированное эволюцией, не дает нам думать в некоторых направлениях.


Заключение

Итак, все, что мы можем сказать в завершение наших рассуждений – что математика непостижимо эффективна, и что все четыре наших гипотезы, даже взятые вместе, не могут этого объяснить.


Да, можно сказать, что Хэмминг заканчивает на минорной ноте.

Но история не стоит на месте, и сам Хэмминг, еще через пару десятков лет, получил достойный ответ. Ему будет посвящена следующая статья.
Tags: научные парадоксы, перевод
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 74 comments